从库仑定律推导高斯定律
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库仑定律阐明，一个固定的点电荷的电场是
E
(
r
)
=
q
′
4
π
ϵ
0
r
−
r
′
|
r
−
r
′
|
3
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q'}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}
；
其中，
q
′
{\displaystyle q'}
是点电荷，
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
是电场位置，
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
是点电荷位置。
根据这方程，计算位于
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
的无穷小电荷元素所产生的位于
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
的电场，积分体积曲域
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
内所有的无穷小电荷元素，可以得到电荷分布所产生的电场：
E
(
r
)
=
1
4
π
ϵ
0
∫
V
ρ
(
r
′
)
r
−
r
′
|
r
−
r
′
|
3
d
3
r
′
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }\rho (\mathbf {r} '){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
。
取这方程两边对于
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
的散度：
∇
⋅
E
(
r
)
=
1
4
π
ϵ
0
∫
V
ρ
(
r
′
)
∇
⋅
r
−
r
′
|
r
−
r
′
|
3
d
3
r
′
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }\rho (\mathbf {r} ')\nabla \cdot {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
。
注意到
∇
⋅
r
−
r
′
|
r
−
r
′
|
3
=
4
π
δ
(
r
−
r
′
)
{\displaystyle \nabla \cdot {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}=4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}
；
其中，
δ
(
r
)
{\displaystyle \delta (\mathbf {r} )}
是狄拉克δ函数。
所以，
E
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )}
的散度是
∇
⋅
E
(
r
)
=
1
ϵ
0
∫
V
ρ
(
r
′
)
δ
(
r
−
r
′
)
d
3
r
′
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} }\rho (\mathbf {r} ')\ \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
。
利用狄拉克δ函数的挑选性质，可以得到高斯定律的微分形式：
∇
⋅
E
(
r
)
=
ρ
(
r
)
/
ϵ
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )=\rho (\mathbf {r} )/\epsilon _{0}}
。
或者可以这样得到高斯定理的积分形式：
点电荷电场通过面元的电通量为
d
Φ
E
=
E
⋅
d
S
=
q
4
π
ε
0
e
r
⋅
d
S
r
2
=
q
4
π
ε
0
d
Ω
{\displaystyle \mathrm {d} \Phi _{E}={\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {{\boldsymbol {e}}_{r}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}}{r^{2}}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\mathrm {~d} \Omega }
对于单点电荷情形，
( i ) 在高斯面内，
∮
S
E
⋅
d
S
=
q
4
π
ε
0
∮
S
d
Ω
=
q
ε
0
{\displaystyle \oint _{S}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\oint _{S}\mathrm {~d} \Omega ={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}}
( ii ) 在高斯面外，
∮
S
E
⋅
d
S
=
q
4
π
ε
0
∮
S
d
Ω
=
0
{\displaystyle \oint _{S}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\oint _{S}\mathrm {~d} \Omega =0}
故可以得到，
∮
S
E
⋅
d
S
=
1
ε
0
∑
i
∈
S
i
n
s
i
d
e
q
i
{\displaystyle \oint _{S}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\sum _{i\in S_{inside}}q_{i}}
，即
∮
S
E
⋅
d
S
=
Q
e
n
c
ε
0
{\displaystyle \oint _{S}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}={\frac {Q_{enc}}{\varepsilon _{0}}}}
若包围在S面内的电荷具有一定体分布，电荷体密度为
ρ
{\displaystyle \rho }
，则高斯定理可写成：
∮
S
E
⋅
d
S
=
1
ε
0
∫
V
ρ
d
V
{\displaystyle \oint _{S}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}\rho \,\mathrm {d} V}
由于库仑定律只能应用于固定不动的电荷，对于移动电荷，这导引不能证明高斯定律成立。事实是，对于移动电荷，高斯定律也成立。所以，从这角度来看，高斯定律比库仑定律更一般化。
从高斯定律推导库仑定律
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严格地说，从高斯定律不能从数学推导出库仑定律，高斯定律并没有给出任何关于电场的旋度的资料（参阅亥姆霍兹定理和法拉第电磁感应定律）。但是，假若能够添加一个对称性假定，即电荷造成的电场是球对称的（就像库仑定律本身一样，在固定不动电荷的状况，这假设是正确的；在移动电荷的状况，这假设是近乎正确的），那么，就可以从高斯定律推导出库仑定律。
高斯定律的方程为
∬
A
⊂
⊃
E
⋅
d
a
′
=
Q
/
ϵ
0
{\displaystyle \iint _{\mathbb {A} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} '=Q/\epsilon _{0}}
。
设定高斯定律积分的曲面
A
{\displaystyle \mathbb {A} }
为一个半径
r
{\displaystyle r}
圆球面，圆心位置在电荷
Q
{\displaystyle Q}
的位置。那么，由于球对称性，
E
=
E
(
r
)
r
^
{\displaystyle \mathbf {E} =E(r){\hat {\mathbf {r} }}}
，
E
(
r
)
{\displaystyle E(r)}
与
d
a
′
{\displaystyle d\mathbf {a} '}
无关，可以将
E
(
r
)
{\displaystyle E(r)}
从积分内提出：
∬
A
⊂
⊃
E
⋅
d
a
′
=
E
(
r
)
∬
A
⊂
⊃
r
^
⋅
d
a
′
=
E
(
r
)
∬
A
⊂
⊃
d
a
=
4
π
r
2
E
(
r
)
=
Q
/
ϵ
0
{\displaystyle \iint _{\mathbb {A} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} '=E(r)\iint _{\mathbb {A} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset {\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} '=E(r)\iint _{\mathbb {A} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathrm {d} a=4\pi r^{2}E(r)=Q/\epsilon _{0}}
。
所以，库仑定律成立：
E
(
r
)
=
Q
4
π
ϵ
0
r
^
r
2
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}
。